原理だよ…

話題になっている京大文系の数学入試問題をネットから拾って解いてみた。
ずいぶん簡単になったものである。大問５つの最後の問題だけがちょいと難しいが、あとはみんな教科書レベルのヤツじゃないか。

１番の(1)、余弦定理は使うけど、ＢＤの長さを求めるのはこれ、中学レベルだよ。かつての中２の｢相似｣の分野で扱っていて、高校入試の図形では頻繁に使われたもの。あとは３辺の長さが分かってるんだから、∠Ｂの余弦(cos)を求めれば終わり。(∠Ａ＝２θとおいて、倍角(数Ⅱの範囲になるけど…)を利用してもいける)
１番の(2)、数えて終わった。そもそも｢場合の数｣で出てくるＰやらＣやらってのは、数え方の一般性を示したもの。この問題のように有限個なら１つ１つ数えて何ら問題はないはずなのだ。｢１から９までの数から２つとって小さい方をｘ…｣ってことは、ｘは１から８までの８通り。ｘ＝１ならもう片方は２～９の８通り。ｘ＝２なら３～９の７通り、…、ｘ＝８なら９だけの１通り。とり出しを２回やるんだったら、この場合の数は、８×８＋７×７＋６×６＋…＋１×１で終わり。こいつを分子にし、分母は９個のものから２つとる場合だから、９×８÷２＝36を２回ってことで、３６×３６。
２番、１つ｢ベクトルＯＡとベクトルＢＣが垂直｣っていう条件があったから、内積をとってみたら、ベクトルＯＡ，ＯＢとベクトルＯＡ、ＯＣの内積がイコールになった。その結果ＯＢ＝ＯＣなんだから、２辺とその間の角が等しいことになり、三角形ＯＡＢと三角形ＯＡＣが合同ってことだから、ＡＣの長さがＡＢに等しいことが判明。これで四面体の４辺の長さが全部分かったから、それを構成する三角形のどこか１つの内角の余弦が求められ、ＯＡ、ＯＢ、ＯＣのベクトルの２つずつの内積が決まる。Ｈが平面ＡＢＣ上にあることを２つの文字を用いて表してやって(ベクトルＡＢとＡＣが１次独立だから…)、ＯＨがベクトルＡＢ、ＡＣに垂直、すなわちこれらのベクトルとの内積=０、ってやってやれば、２つの文字の連立方程式が出てきて解決。
３番、微分法の方程式・不等式への応用の｢定数分離型｣の典型パターン。２つのグラフの交点(＝共有点)だから、２式を連立させて ｘの多項式＝ａ の形にし、左辺のグラフを描いてｘ軸に平行な直線 ｙ＝ａ を上下に動かすだけ…。
４番、条件の３つ目の式の絶対値がｘ＝±２を境界にするから、１つ目の式と絡めると２次関数のグラフは１本で足りる。そうすれば放物線と直線で囲まれた部分の面積に帰結するから終わり。
ちょっとできるコなら｢1/6公式｣を使って、1/6×3/4{2/3－(-2)}＾3=1/8×324/27＝64/27、ってやってあっさりなはず。
５番の(1)、｢各位が１または２であるｎ桁の数…｣、ｎ個の桁が１または２なんだから総数は２のｎ乗個(重複順列、すなわち一の位が２通り、十の位が２通り、……、ｎの位が２通り、これらが｢同時に」だから、２をｎ回かけてやればいい。教科書で｢積の法則｣として言われていることは、簡単に言えば｢続けて起こることあるいは同時に起こることは、それぞれの場合をかけ算すると求められるよ｣ってこと。｢ある事象がｍ回起こり、そのそれぞれに対してもう１つの事象がｎ回…」なんて解説、小学生に分かるわけがない。でも中学入試で｢場合の数」は出てくる。彼らにそれを理解させるにはこういった簡単な｢言い換え｣が必要だった)。
各位が１または２なんだから、１も２も２のｎ乗の半分、すなわち２の(ｎ－1)乗個出てくることは明らか。後はｎ桁全部が１である数(これって初項1、公比10の等比数列の初項から第ｎ項までの和)を求め、１と２が２の(ｎ－1)乗個出てくるよっていうのとの積を求めればいい。
(2)、コイツが骨っぽかった。｢各桁が０または１また２であるｎ桁以下の整数」、そうかぁ～！00123は実際は３桁なんだけど、上位２桁が０である５桁の整数なんだ、って気づいたら何とかなった。
あとは常用対数を使ってはさみうち！

１番から４番までは、文系といっても京都を受ける気のあるヤツだったら完答しなくっちゃぁ。
配点を見るとこれだけで８割、十分に合格圏内だもん。
報道を見ると１番からネットに飛ばしている。まるで基本、そして原理ができていないってことでしょ。
難しい問題が｢できた｣からってそいつが｢分かっている｣とは限らない。でも｢分かってる｣ヤツは時間がかかっても｢できる｣んだ。
原理がどうなってるんだっけ？ってことを常に念頭におくことが必要で、教室の黒板や数学専門の月刊誌なんかに出てくる｢エレガントな解答｣に憧れるだけじゃ力なんてつきっこない。
運動で大切なのは基礎体力であるのと同様、勉強だって｢基礎体力｣が必要なんだ。

今回の君、まだ若いんだからきちんと｢悔い改め｣、今一度｢基礎体力｣をつけるトレーニングをしてごらん。